DISTRIBUCIÓN DE LA MASA

A menudo hablamos de la masa de un cuerpo rígido en sistemas con un solo grado de libertad; en el caso del movimiento giratorio sobre un solo eje es muy común el término  momento de inercia. Para un cuerpo rígido que tiene la libertad de moverse en tres dimensiones, hay un número infinito de posibles ejes de rotación. En el caso de la rotación  sobre un eje arbitrario necesitamos una forma completa de caracterizar la distribución de la masa de un cuerpo rígido.

Ahora definiremos un conjunto de cantidades que proporcionan información sobre la distribución de la masa de un cuerpo rígido con respecto a una trama de referencia.  La  figura  2.20  muestra  un  cuerpo  rígido  con  una  trama  adscrita. Pueden definirse los tensores de  inercia en relación con cualquier trama, pero siempre consideraremos el caso de un tensor de inercia definido para una trama unida al cuerpo rígido. Cuando sea importante indicaremos, con un superíndice a la izquierda, la trama de referencia de un tensor de inercia dado.

Figura 2.20 El vector AP posiciona el elemento de volumen diferencial, dv.

El tensor de inercia relativo a la trama {A} se expresa en forma matricial como la siguiente matriz de 3 x 3:

En donde los elementos escalares están dados por:

Aquí,  el   cuerpo

rígido  está   compuesto  de   elementos  de    volumen

diferencial, dv, que contienen material de densidad ρ. Cada elemento de volumen está ubicado con un vector, AP=[x y z]T, como se muestra en la figura 2.20.

Los elementos Ixx   , Iyy   y Izz   se llaman momentos de inercia de masas.

Observe que, en cada caso estamos integrando los elementos de la masa, pdv,

multiplicados  por   los

cuadrados  de   las  distancias  perpendiculares  al  eje

correspondiente. Los elementos con  índices mezclados se llaman productos de

inercia de masas. Este

conjunto de seis cantidades  independientes dependerá,

para un cuerpo dado, de la posición y orientación de la trama

en la  que estén

definidas. Si podemos elegir la orientación de la trama de referencia, es posible hacer que los productos de inercia sean cero. Cuando se alinean así los ejes de la trama  de  referencia  se  llaman  ejes  principales,  y  los  momentos  de  masas

correspondientes son los momentos principales de inercia.

El tensor de inercia es una función de la ubicación y la

orientación de la

trama de referencia. El

teorema de ejes paralelos es una manera de calcular

cómo  cambia  el   tensor  de   inercia  bajo  las  traslaciones

del  sistema  de

coordenadas  de  referencia. El teorema de ejes paralelos relaciona el tensor de

nercia en una trama cuyo  origen está en el centro de masa,

con el tensor de

inercia con respecto a

otra trama de referencia. Cuando {C} se encuentra en el

centro de masas del cuerpo y {A} es una trama trasladada arbitrariamente, el teorema puede definirse como:38

En donde Pc    =

[xc, yc, zc]T    ubica el centro de masas

relativo a {A}; los